BLOQUE 2- APLICAS FUNCIONES ESPECIALES Y TRANSFORMACIONES DE GRÁFICAS.

Función Inversa.

Una función es una relación entre dos variables, de manera que para cada valor de la variable independiente existe a lo más un único valor asignado a la variable independiente por la función.

Imagina que tienes la función y = f(x). Tú le das un valor (x) y ella te devuelve otro (f(x)).

Pasos a seguir para determinar la función inversa de una dada:

 ^_ Despejar la variable independiente x.

 ^_ Intercambiar la x por la y, y la y por la x.

 La función así obtenida es la inversa de la función dada.

No todas las funciones tienen función inversa. Esto se debe a la definición de función.

Para que una relación sea considerada función, para cada elemento del dominio le

debe corresponder a lo más un elemento del contradominio.

Si una función debe tener función inversa, a cada elemento del contradominio le debe corresponder a lo más un elemento del dominio (por definición de función inversa).

En otras palabras, para cada elemento del dominio de f le corresponde un elemento de su contradominio y viceversa.

Ejemplo:

Calcula la función inversa de la función:

                 y = 2 x + 7

>Por definición de función inversa, para cada x le corresponde un y y viceversa.

>La función «directa» es: y = 2 x + 1.

>La función inversa «deshace» la transformación, es decir, le damos y y ésta nos         devuelve x.

>En otras palabras, la variable dependiente de la función «directa» viene siendo   la variable independiente de la función inversa.

>Y la variable dependiente de la función «directa» juega el papel de la variable independiente en la función inversa.

> Así que vamos a despejar x en términos de y.

y = 2 x + 7

y-7 = 2 x

y-7

-----= x

   2

>Esta expresión puede verse como una función: nosotros le damos el valor de y y ésta nos devuelve el valor de x.

>Ahora cambiamos las variables para que se trate de la función inversa:

f-1(x)=  x-7

            -----

              2

Ejercicios:

 1.-

 

2.-

3.-

4.-

5.-

6.-

Función Escalonada.

Su nombre radica por que su comportamiento gráfico tiene saltos en forma de escalon. Su forma básica es F(x)=[x]

Tiene la característica de que cada intervalo que se va marcando para  X , tiene un valor en Y

Es una función discontinua si se ve en su totalidad pero continua a cada intervalo que se da.Es sobreyectiva no tiene grado.

Las funciones escalonadas son de dos tipos: las que están definidas justo en el punto del "borde" del escalon (con un valor cualquiera real, igual o distinto a uno o ambos valores de ordenada de los escalones contiguos) son discontinuas, porque son discontinuas justamente en ese punto "borde" del escalón.

Las que no están definidas en el borde del escalón, es decir aquellas en las que explícitamente se dice que el dominio no incluye a ese punto. Esas son continuas poruqe lo son en su dominio, siendo este dominio formado por las abcisas (intervalos abiertos) de esos escalones.

NO se define continuidad ni discontinuidad de una función en puntos que no pertenzcan al dominio de la función. Ver apóstol definición de continuidad de una función en un punto, y ver en el práctico la definición de "función continua" (a secas, sin decir nada, es decir en todos los puntos de su dominio).

Función valor absoluto.

Recordemos que la definición del valor absoluto surge de nociones geométricas, y se relaciona con los conceptos de longitud y distancia.

La función de valor absoluto tiene por ecuación f(x) = |x|, y siempre representa distancias; por lo tanto, siempre será positiva o nula. 

En esta condición, de ser siempre positiva o nula, su gráfica no se encontrará jamás debajo del eje x. Su gráfica va a estar siempre por encima de dicho eje o, a lo sumo, tocándolo.

Las funciones en valor absoluto siempre representan una distancia o intervalos (tramos o trozos) y se pueden resolver o calcular siguiendo los siguientes pasos:

1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces (los valores de x).

2. Se forman intervalos con las raíces (los valores de x) y se evalúa el signo de cada intervalo.

3. Definimos la función a intervalos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función.

1.-

f(x) = |x - 2|

2.-

3.-

f(x) = |x² -4x + 3|

x² -4x + 3 = 0 x = 1 x = 3

4.-

f(x) = |-x² + 5x - 4|

-x² + 5x - 4 =0 x² - 5x + 4 =0 x = 1 x = 4

5.-

f(x) = |x| − x

x = 0

6.-

f(x) = |x| / x

x = 0

Función Identidad.

La función identidad es la función: f(x)=x Es una función biyectiva
además es una función creciente y continua independientemente del dominio de definición. Su gráfica es una recta, cuya pendiente es.También es una función lineal

La función identidad es la función de la forma f(x) = x.  El dominio y el recorrido es el conjunto de los números reales.

Función Constante.

Se llama función constante a la que no depende de ninguna variable, y la podemos representar como una función matemática de la forma:

F(x)=a donde a pertenece a los números reales y es una constante.

Como se puede ver es una recta horizontal en el plano x y, en la gráfica la hemos representado en el plano, pero, como se puede ver la función no depende de x, si hacemos:

Y=F(x) entonces Y=adonde a tiene un valor constante, en la gráfica tenemos representadas:

para valores de a iguales:Y=8Y=4,2Y=-3,6

La función constante como un polinomio en x es de la forma 

Se dice que es constante porque su valor no cambia, a cada valor de x le corresponde siempre el valor a.

El Dominio de la función constante va hacer igual siempre a "Todos los Reales"Mientras que la imagen tan solo va hacer el valor de a.

Es una Función Continua.